L’hypothèse de Riemann, qui date de 1858, est incontestablement le problème non résolu le plus célèbre des mathématiques. Son énoncé « Les zéros non triviaux de la fonction zeta z(s) = Sn^{-s}, dans le domaine complexe, sont sur la droite des s de partie réelle 1/2 », n’est malheureusement pas directement accessible au non-mathématicien (mathématiques de 3e année). Mais il existe une formulation équivalente, due à von Koch (1901), qui indique le lien profond entre les zéros de z et la répartition des nombres premiers : si p(x) est le nombre de nombres premiers inférieurs à l’entier x, l’hypothèse de Riemann est équivalente à l’énoncé suivant : l’erreur commise en approchant p (x) par la fonction « logarithme intégral » Li(x), est de l’ordre de Öx.log(x) (on en est loin actuellement, et toute information nouvelle sur les zéros de z mène à une nouvelle approximation de l’ordre de grandeur de cette erreur).
• Des travaux théoriques de Montgomery (1973), ainsi que des calculs numériques d’Odlyzko (1988) portant sur les 10^20 premiers zéros de z, ont révélé un lien tout à fait inattendu avec la théorie des matrices aléatoires. Cette théorie, développée dans les années 1950 par des physiciens théoriciens dont E. Wigner et F. Dyson, avait pour but de modéliser les niveaux d’énergie d’atomes lourds, comme l’uranium 239. A l’heure actuelle, ce lien semble très profond mais reste encore largement incompris.
• Le but de ces rencontres est de faire le point de la situation sur différentes approches de l’hypothèse de Riemann. Elles se dérouleront avec la participation de cinq des meilleurs spécialistes mondiaux, les professeurs B. Conrey (Palo Alto), H. Iwaniek (Rutgers), A. Knauf (Erlangen), P. Michel (Montpellier) et P. Sarnak (Princeton). La réunion se terminera par un exposé "grand public" sur le thème de l’interaction entre physique et géométrie, par le professeur J-P. Bourguignon, directeur de l’Institut des Hautes Etudes Scientifiques (Bures-sur-Yvette, France).
Professeur Alain Valette
Institut de Mathématiques
Université de Neuchâtel
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