Les groupes apparaissent en chimie, en physique, en mathématiques, dès que l’on s’intéresse aux symétries d’un objet (qui peut être un phénomène, ou une structure). Par exemple, pour le célèbre Cube Hongrois (ou Rubik’s Cube), le groupe des symétries est celui des mouvements possibles du Cube Hongrois: il a exactement 43.252.003.274.489.856.000 éléments.
• La théorie des groupes s’intéresse spécialement aux groupes finiment en-gendrés, c’est-à-dire ceux pour lesquels il est possible de trouver un ensemble fini X de transformations (les générateurs) telles que, en les combinant, on puisse ob-tenir toute transformation du groupe. Ainsi, le groupe des translations planes, qui préservent le pavage du plan par des carrés, est finiment engendré (contrairement au groupe de toutes les translations du plan).
• Si un groupe est engendré par l’ensemble fini X de générateurs, alors tout élément du groupe peut s’écrire comme un mot, de longueur finie, sur l’alphabet X. Un langage étant un ensemble particulier de mots, la théorie des langages intervient via le problème de la forme normale: étant donné un groupe finiment engendré, avec un système générateur X donné, peut-on décrire explicitement un langage sur X, tel que tout élément du groupe s’écrive de manière unique comme un mot du langage?
• La théorie des groupes automatiques, développée depuis 1990 par Cannon, Epstein, Thurston… s’insère entre la géométrie hyperbolique et la théorie des au-tomates (les langages considérés étant produits par un automate à nombre fini d’états).
• Le but de ce colloque est de présenter, de manière accessible à de jeunes diplômés, les points saillants de la théorie.
• Les Professeurs Martin Bridson (Oxford), Benson Farb (Chicago) et Robert Gilman (Stevens Institute of Technology New York), trois des meilleurs experts du sujet, donneront chacun un mini-cours de 4 heures. Des exposés d’une heure, par de jeunes intervenants, complèteront le programme.
Alain Valette
Institut de Mathématiques
Université de Neuchâtel
tél. 41 32 718 28 05
email alain.valette@maths.unine.ch
