Le problème de débruitage de signaux binaires, c’est-à-dire codés avec des "zéros" et des "uns", est très fréquemment rencontré en pratique, dès lors qu’ils sont transmis. Divers types de bruits peuvent détériorer le signal d’origine : bruits électromagnétiques, bruits en 1/f caractéristiques des circuits électroniques, erreurs de codage… Ces diverses nuisances ont pour conséquence l’inversion aléatoire de certains "bits" (symbole binaire élémentaire) dans l’information transmise. Le problème concret qui se pose alors est de reconstruire un signal qui s’approche le plus possible de l’information de départ sans avoir aucune information préalable sur le bruit qui l’a corrompu. Un exemple très intéressant de ce type est celui du débruitage d’images. Le fait qu’il s’agisse d’images plutôt que de signaux sonores ou de tout autre type d’information ne fait aucune différence d’un point de vue mathématique, mais la visualisation des résultats de reconstruction est beaucoup plus parlante pour des images. La reconstruction de signal bruité est déjà bien étudiée dans de multiples cas standard. On recourt à des méthodes de statistique mathématique bien connues dont les applications au traitement du signal en général sont très courantes. Par exemple, dans le cas de bruit dit "Gaussien", la théorie du maximum de vraisemblance revient à résoudre un problème de "moindres carrés" dont la solution peut être trouvée récursivement sur ordinateur en une fraction de seconde.
• La facette la plus déconcertante lorsqu’on regarde de plus près ce problème, est qu’il est infiniment plus difficile de débruiter une image noir et blanc qu’une image couleur ou à niveau de gris ! Le fait qu’il s’agisse de données binaires implique des contraintes combinatoires assez drastiques sur la solution à retrouver. Il existe même une théorie en pleine effervescence pour ce type de problème dont les fondements remontent aux travaux de Alan Turing sur la complexité algorithmique. Pour donner une idée des difficultés à surmonter, si l’on aborde le problème de face, il faudra attendre plusieurs millions d’années avant qu’un ordinateur actuel ne calcule une solution. C’est aussi vrai pour le problème bien connu du voyageur de commerce qui doit visiter un certain nombre de villes le plus économiquement possible.
• L’équipe de probabilités et statistiques du laboratoire de Mathématiques de l’université de Franche-Comté travaille depuis quelques temps sur ce type de questions et les résultats ont récemment été présentés au congrès COMPSTAT à Berlin. L’idée consiste à contourner le problème combinatoire en le transformant en un problème de nature plus "géométrique". Comme pour le cas standard, il s’agit alors de minimiser une fonction que l’on peut comprendre comme une énergie. Plus précisément, à chaque image correspond une énergie ; la clé de ce travail est d’exprimer l’énergie pour laquelle l’image à reconstruire atteint un minimum, en un certain sens presque binaire. Les résultats obtenus sur ordinateur sont très encourageants comme en attestent les figures ci-dessous. La première figure montre l’image originale et sa version bruitée. 
La seconde figure montre l’image reconstruite ainsi que les diverses valeurs décroissantes de l’énergie obtenues à chaque itération de l’algorithme de reconstruction qui a été développé pour ce problème. 
L’approche proposée permet de reconstruire des images beaucoup plus bruitées que celles habituellement étudiées dans la littérature spécialisée sur ce sujet.
Stéphane Chrétien
Laboratoire de Mathématiques (URA-CNRS 6623)
Université de Franche-Comté
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