– Un cercle est plus symétrique q'une pomme de terre
– Équations à trouver du pétrole
– Les mathématiques rendent les choses simples
Archimède, Euclide ou Pythagore pour ne citer qu’eux… dès l’Antiquité, les mathématiques font preuve de connaissances très avancées. Que reste-t-il encore à découvrir dans ce domaine deux mille ans plus tard ? « Tout ! » répondent les mathématiciens d’aujourd’hui. Loin d’avoir fait le tour de la question, ils maîtrisent cette science à un degré de spécialisation tel qu’il ouvre sans cesse de nouvelles fenêtres vers d’autres explorations. Avec, par ricochet, une propagation des savoirs à la plupart des autres disciplines scientifiques, avec qui les mathématiques entretiennent des échanges incessants et fructueux.
32 + 42 = 52… Cette équation, si banale en apparence, cache un trésor de mathématiques. Car si l’on remplace l’exposant par tout autre nombre entier supérieur à 2, il n’existe aucune solution, quelle que soit la façon dont on essaie d’écrire xn + yn = zn — x, y et z étant des nombres entiers non nuls. Ce résultat est appelé le « Grand théorème de Fermat », il date du XVIIe siècle. Mais il a fallu attendre 350 ans pour que la preuve formelle de ce postulat soit apportée, en 1994 exactement. 350 ans pour cette seule satisfaction ? Pas seulement, car pendant toutes ces années, les efforts se sont mobilisés autour d’outils de géométrie, d’algèbre et d’analyse, à l’origine d’immenses progrès.
En mathématiques, un problème en amène un autre, et laisse tendre les recherches et les découvertes… vers l’infini. Avec en cours de chemin des legs vers d’autres disciplines, car les mathématiques, aux facettes aussi multiples qu’un Rubiks’cube, offrent une base solide à un grand nombre de domaines, de la physique à la médecine, de la finance à la mécanique quantique en passant par l’information et les télécommunications.
L’idée est l’essence même des mathématiques dites pures. C’est elle qui aiguise la passion des chercheurs et indique la voie à suivre. Avec elle vient le défi, que les esprits français relèvent avec brio à tel point que l’école française de mathématiques est l’une des plus réputées au monde. Pour la petite histoire, les mathématiques forment sans doute la seule discipline où, encore aujourd’hui, on publie en français des articles scientifiques dans des revues internationales !
Beaucoup moins anecdotique, « la profusion d’articles publiés quotidiennement montre combien les mathématiques constituent une discipline dynamique et vivante » explique Christophe Delaunay qui a rejoint le laboratoire de mathématiques de Besançon à l’université de Franche-Comté voilà tout juste un an. La recherche, l’histoire et la culture ont façonné les talents, et les mathématiques atteignent un niveau de complexité et d’abstraction certes impensable pour les non-initiés, mais dans le même temps trouvent des développements jusque dans les plus communs des objets du quotidien.
La théorie des nombres, qui joue avec les propriétés des nombres entiers et relève des défis du type du théorème de Fermat énoncé plus haut, est par exemple à l’origine d’une des branches de la cryptographie moderne. Cette science assure la sécurité de la diffusion d’une information, comme l’utilisation du code confidentiel d’une carte bancaire lors d’un achat par internet. « On sait qu’un ordinateur réussira toujours à décrypter une information ; c’est dans le temps qu’il faudra y passer que réside la sécurité », explique Christian Maire, directeur du laboratoire de mathématiques de Besançon (LMB). Utiliser la dissymétrie des propriétés des nombres rend un calcul simple dans un sens, extrêmement compliqué dans l’autre pour assurer, pendant un temps suffisant, la sécurité de la communication entre deux interlocuteurs. Certains protocoles exigent de travailler avec des nombres incroyablement grands, comportant plusieurs centaines de chiffres !
À l’Institut de mathématiques de Neuchâtel, les travaux d’Alain Valette s’appuient sur la formalisation de la notion de symétrie. Celle-ci explique que plus le nombre de manières de tourner un objet sur lui-même pour lui faire retrouver sa position initiale est grand, plus l’objet est symétrique. Une pomme de terre ne doit pas être bougée si l’on veut qu’elle continue à présenter la même forme, quand, à l’extrême, un cercle présente des possibilités infinies de tourner sur lui-même en présentant un aspect identique.
La théorie des groupes s’intéresse à tout ce qui est symétrie, mais aussi permutation. Ainsi, le fameux Rubik’s cube dans son format original (3 x 3 x 3) offre 1019 positions possibles. En 1980, via la théorie des groupes, les mathématiciens ont réussi en trois mois à trouver un premier algorithme pour redonner au cube sa position initiale et expliquer ce calcul. La notion d’harmonique en musique est liée à la théorie des groupes par l’analyse de Fourier. À chaque montée d’octave sur un piano, la fréquence d’une note correspond à la multiplication de sa fréquence fondamentale par le nombre d’octaves. La fréquence de 440 Hz du la3 est multipliée par 2, par 3, par 4… au fur et à mesure que l’on monte cette note d’un octave.
Au début du XIXe siècle, Fourier a compris comment le son est une superposition de fréquences. Un siècle après, on a reconnu le rôle du groupe des translations à une dimension dans l’analyse de Fourier, et ainsi la possibilité de généraliser à d’autres groupes — on parle alors d’analyse harmonique non commutative. Les applications vont de la digitalisation des données sur un DVD à l’étude du comportement des électrons en mécanique quantique. Le physicien Eugène Wigner a pu parler de la « déraisonnable efficacité des mathématiques ».
La loi des nombres anormaux de Benford montre que valeurs boursières, listes de prix ou grandeurs géographiques présentent des nombres commençant par 1 plutôt que par 2, par 2 plutôt que par 3, que l’on rencontre lui-même plus souvent que 4, etc. La probabilité d’apparition des chiffres est de 30 % pour le 1 ; 17,5 % pour le 2 ; 12,5 % pour le 3, jusqu’à décroître à 4,5 % pour le 9.
Exemple probant illustrant cette étonnante loi : la suite des puissances de 2. Si l’on écrit les valeurs de la suite : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…, on s’aperçoit que les premiers chiffres en sont 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, une litanie reprise en boucle jusqu’à la valeur 246 donnant enfin un 7 en tête de liste, et 253 un 9. Et pourtant, cette suite satisfait bien la loi de Benford !
C’est un astronome qui, le premier, a eu cette révélation en 1881, en observant que les tables logarithmiques utilisées pour les calculs de l’époque étaient plus usées dans les premières pages, correspondant aux petits chiffres, que dans les suivantes. Une cinquantaine d’années plus tard, Benford fait la même observation et cette fois l’article qu’il écrit à ce sujet fait date, quand celui de son prédécesseur était passé totalement inaperçu.
La loi de Benford n’est pas qu’une curiosité mathématique. Elle sert aujourd’hui à dépister les erreurs de comptabilité et les fraudes fiscales. « Même connaissant la loi de Benford, un fraudeur ne peut reproduire ses propriétés. Sur un premier chiffre, c’est déjà difficile, et il est quasi impossible de tromper les tests au-delà des deux premiers chiffres composant un nombre » raconte Paul Jolissaint, spécialiste du phénomène à l’Institut de mathématiques de Neuchâtel.
L’introduction des processus quantiques dans les systèmes mathématiques est très récente et apporte une dimension aléatoire propre à la manipulation des objets de l’infiniment petit. Uwe Franz travaille à Besançon sur les propriétés mathématiques du bruit dans ces processus. « En mécanique quantique, le seul fait de mesurer l’état d’une molécule désorganise le système étudié. Les algorithmes que nous élaborons permettent de tenir compte de ces variations et de modéliser nos observations » explique le chercheur qui, depuis quinze ans, étudie ces phénomènes en lien avec des collègues allemands.
Si ces recherches fourniront à terme les clés d’une meilleure compréhension de la physique quantique, elles donnent déjà lieu à quelques essais sur le terrain, comme l’expérience menée en 2007 avec des physiciens américains pour mesurer, avec une très grande finesse, le champ magnétique de la Terre. Utilisant les équations différentielles stochastiques quantiques des mathématiciens, les instruments mis au point peuvent donner des indications ultraprécises sur la teneur en pétrole ou en minerais des zones étudiées, à partir de mesures tenant compte des perturbations de l’environnement sur le signal émis par le champ magnétique.
Si la physique a de tout temps été associée aux mathématiques, l’économie lui est aussi devenue très proche. Les mathématiques ont en particulier investi le monde de la finance et ce mariage, en ces temps de crise, fait couler beaucoup d’encre. Dans ce domaine aussi, l’aléa fait toute la différence et intéresse le LMB. « Les probabilités et les statistiques ont pour rôle de calculer au plus juste le risque inhérent à une situation » résume Davit Varron.
Juan-Pablo Ortega rappelle que jusqu’aux années 1970 et la prise en compte des processus aléatoires, « toute analyse était déterministe, ce qui ne pouvait marcher pour des situations très complexes comme en économie. » Les équations, introduisant calculs de variations et d’aléas, modifient complètement la façon de penser. Les modèles sont aujourd’hui dynamiques, c’est-àdire qu’ils sont capables de saisir les observations du passé sans se limiter à eux, et de projeter différents scénarios dans le futur, par exemple d’envisager des pertes pour une entreprise même si elle n’en a pas connu les années précédentes.
À Neuchâtel, Michel Benaim défend la théorie des processus renforcés lors de déplacements aléatoires, stipulant que si l’on garde la mémoire d’endroits vus dans une ville, les probabilités sont grandes d’y retourner lors d’un nouveau passage. Plus difficile et plus subtile que l’approche classique ne tenant pas compte de cet effet mémoire, cette technique est plus proche de la réalité et est utilisée dans la modélisation de processus en économie. Transposée aux marchés, elle introduit dans le calcul le fait que les acheteurs ont tendance à se tourner vers des valeurs déjà acquises par le passé.
Fier de marcher à Besançon dans les pas de Louis Bachelier, père des mathématiques financières dont il est un spécialiste, Youri Kabanov explique que les postulats posés et les solutions mises en rapport sont valables dans un contexte donné et trouvent à certains moments leurs limites. « Nos calculs se heurtent par exemple à une barrière infranchissable, qui est celle de la vitesse de la lumière. L’achat de valeurs sur une place boursière via internet est conditionné par les quelques millisecondes de délai d’acheminement d’une information entre un donneur d’ordre à Tokyo et un autre à Londres. »
Original et ambitieux, un projet de promotion et de développement de la recherche est en cours d’élaboration au laboratoire de mathématiques de Besançon (LMB), avec le soutien appuyé de la Région Franche-Comté. L’idée est de balayer en cinq trimestres un large spectre du domaine des mathématiques. Algèbre et théorie des nombres ; analyse fonctionnelle ; analyse numérique et calcul scientifique ; équations aux dérivées partielles ; probabilités et statistique : la variété de la recherche est un point fort du laboratoire, comptant une petite centaine de collaborateurs, dont près de cinquante chercheurs et enseignants-chercheurs.
« Les trimestres du LMB » donnent les moyens de valoriser la recherche bisontine sur la scène internationale tout en apportant un dynamisme certain à l’ensemble de la discipline. Des chercheurs, des doctorants et post-doctorants du monde entier seront invités à participer aux conférences, ateliers et autres groupes de travail organisés sur le sol franc-comtois. Ces événements scientifiques concernent et mobilisent le laboratoire tout entier. La synergie veut également s’opérer vers l’extérieur, tant vers les autres laboratoires que les entreprises de la région, et auprès des jeunes Comtois, grâce à des opérations de valorisation et de communication. Pour mener à bien ce projet prévu sur trois ans, le LMB reçoit l’adhésion sans réserve de la Région Franche-Comté, qui a voté une première tranche budgétaire juste avant l’été.
Les théories probabilistes se déclinent en de nombreuses applications, car si les modèles ne sont pas transposables d’un domaine à un autre, les idées, elles, le sont. Ainsi, on peut connaître les facteurs impactant l’évolution du PIB d’un pays comme ceux décidant du temps de latence entre deux stades de développement d’une maladie. Un modèle mathématique peut aussi faire comprendre ce qu’est réellement… une image ! Stéphane Chrétien raconte comment un algorithme a démontré qu’il n’était pas nécessaire de recueillir autant d’informations qu’on le pensait pour reconstituer une image issue d’une IRM. Cette révélation datant de 2004 a bouleversé le monde de l’imagerie et a notamment permis l’accès à l’IRM aux enfants, qu’on sait pouvoir désormais exposer en temps limité aux champs magnétiques utilisés. « Partant d’une intuition, cette expérience positive est depuis revenue à la théorie, qui bénéficie de ses enseignements », explique le chercheur du LMB.
Les mathématiques sont donc très fortes en analogie. Ainsi, la dynamique des populations, depuis longtemps utilisée pour étudier le taux de croissance d’une espèce, connaît-elle depuis quinze ans de nouvelles applications en biologie, notamment en cancérologie. La modélisation des écoulements sanguins est à son tour utilisée pour la gestion du trafic routier à Paris : on parle bien d’artères, dans l’organisme comme dans une ville ; à partir de là, les flux se ramifient en autant de capillaires que de rues. Reste que la circulation sanguine est une action mécanique quand les mouvements humains comportent des aspects aléatoires…
Mais les mathématiques osent s’attaquer à des situations de plus en plus complexes, et prendre en compte des aspects psychologiques, a priori peu « mathématisables ». Les mathématiciens se sont par exemple intéressés au phénomène de l’évacuation d’un lieu public d’une foule en situation de panique. En plaçant des colonnes devant la sortie, peut-on faciliter l’évacuation du public en cas d’incendie ?
C’est, en effet, ce que suggèrent les expériences : on parle du « paradoxe de Braess. » « Les personnes ont à anticiper le contournement de ces colonnes dans leur trajectoire. Ce qui apparaît comme un obstacle aide en réalité à fluidifier le déplacement plutôt qu’à adopter le réflexe de se serrer pour passer en force, ce qui bloque la sortie », explique Boris Andreianov, du LMB. Les modèles mathématiques très récents sont capables de reproduire ce comportement particulièrement complexe, donc de le simuler sur ordinateur pour en tenir compte lors de la construction de théâtres ou de stades de foot.
Le séminaire « Mathématiques et société » de l’université de Neuchâtel parle voitures, plantes et cuisine avec le même enthousiasme et pour fil conducteur de montrer jusqu’où peuvent se cacher les mathématiques dans la vie quotidienne.
Dans une cuisine, au-delà des mesures, volumes et proportions de base, se précipitent une foule de formes géométriques plus ou moins déformées et autant de théorèmes et d’équations. Empilements de cubes de sucre ou d’oranges-sphères, tangentes d’assiettes-cercles et engrenages d’essoreuse à salade deviennent prétextes à découvrir les mathématiques autrement.
Autour de nous, les harmonies et les angles parfaits que sait sublimer la nature ont été remarqués dès l’Antiquité et ont fait l’objet de recherches au cours des siècles. La suite de nombres de Fibonacci trouve une expression naturelle dans les formes spiralées d’un chou Romanesco ou le cœur d’un tournesol, et amène à la découverte du fameux nombre d’or. Aujourd’hui, l’observation de la structuration des feuilles d’une plante porte le nom scientifique de phyllotaxie et sert de base à de nouveaux principes mathématiques.
Ces sujets et bien d’autres sont soumis à la curiosité de tout public et font intervenir des spécialistes dans des cycles de conférences orchestrées par Paul Jolissaint, enseignant-chercheur à l’université de Neuchâtel. La prochaine session aura pour thème « Mathématiques et horlogerie » et sera animée par Ilan Vardi, mathématicien à l’Association suisse de recherches horlogères qui présente son intervention en ces termes : « Une des questions le plus souvent posées quand on annonce que l’on fait de la recherche dans l’horlogerie mécanique est : « est-ce qu’il y a encore des choses à découvrir ? » Dans cet exposé, je vais répondre de manière affirmative en présentant pour la première fois l’algorithme complet pour une lecture correcte de l’heure. Ensuite, je vais démontrer comment ceci mène à un nouvel affichage analogique plus précis. » Rendez-vous le 3 octobre prochain à l’université de Neuchâtel.
Les mathématiques sont là pour rendre les choses plus simples. Pour retenir d’une somme d’informations ingérable celles qui permettront d’élaborer un modèle exploitable et fiable, suffisamment proche de la réalité. Modéliser l’activité électrique du muscle cardiaque dans toute sa complexité est impensable : on retiendra les processus primordiaux induits par certains ions dans ce fonctionnement, auxquels on intégrera ensuite, dans la mesure du possible, d’autres paramètres.
Modélisation mathématique, analyse numérique et calcul scientifique se combinent alors. « Le but est de formaliser un problème physique en termes mathématiques et de l’approcher pour qu’il soit résolu par l’outil informatique, avec pour résultat des simulations numériques », explique Franz Chouly, au LMB. L’ordinateur est capable d’effectuer un nombre de calculs impressionnant, inaccessible à l’homme. Il n’est cependant pas assez sophistiqué pour représenter les objets de la physique et ne peut apporter à un problème que des solutions approchées. « Tout l’art de l’analyse numérique consiste alors à établir des théorèmes justifiant que l’approximation est la meilleure possible pour résoudre le problème posé. » Le calcul scientifique prend le relais pour développer des algorithmes efficaces et les tester sur ordinateur. Il débouche sur la simulation, en lien direct avec les sciences appliquées, à qui elle donne l’occasion d’éprouver certaines méthodes d’ingénierie.
L’analyse théorique des équations aux dérivées partielles régissant la circulation du pétrole dans les milieux géologiques poreux a par exemple montré que les écoulements peuvent présenter une palette de comportements plus riche que celle capturée par les méthodes numériques appliquées par les spécialistes de terrain. « Le nouveau modèle théorique et numérique que nous avons mis au point prend en compte toute la diversité de comportements aux interfaces entre diverses couches géologiques. À partir d’une description mathématique unifiée de tous les possibles, nous sommes capables de proposer des algorithmes numériques plus robustes, permettant aux ingénieurs de tirer le meilleur parti des observations du terrain », explique Boris Andreianov.
Détection de pétrole, optimisation du trafic routier, prévention de l’évolution d’une maladie, pronostics économiques, sécurité de l’information, processus quantiques… les mathématiques ont balisé bien des chemins dans le champ scientifique, qui les a payées de retour. Leur moteur principal et leur plus grande satisfaction résident cependant dans la résolution du mystère qu’indéfiniment elles posent : celui de la connaissance.
L’enseignement des mathématiques est au cœur des activités de l’IREM (Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques) de l’université de Franche-Comté, pour lequel la formation continue des enseignants, du primaire au supérieur en passant par le lycée professionnel, constitue une priorité. L’IREM est également l’instigateur de manifestations pour présenter les mathématiques de façon ludique aux collégiens et lycéens de la région, comme les fameux rallyes mathématiques qui, depuis plusieurs années, connaissent un véritable engouement. Organisation de séminaires, animation de groupes de recherches, publication d’ouvrages didactiques, participation à des actions de valorisation…, l’IREM de Franche-Comté est un élément incontournable de construction mathématique sur la région comtoise.
Contacts :
Université de Franche-Comté / CNRS
LMB — Laboratoire de mathématiques de Besançon
Christian Maire – Tél. (0033/0) 3 81 66 66 05 r
Christophe Delaunay – Tél. (0033/0) 3 81 66 63 34
Youri Kabanov – Tél. (0033/0) 3 81 66 63 77
Davit Varro n – Tél. (0033/0) 3 81 66 63 30
Juan-Pablo Ortega – Tél. (0033/0) 3 81 66 63 28
Uwe Franz – Tél. (0033/0) 3 81 66 63 17
Stéphane Chrétien – Tél. (0033/0) 3 81 66 63 30
Boris Andreianov – Tél. (0033/0) 3 81 66 63 24
Franz Chouly – Tél. (0033/0) 3 81 66 64 89
IREM — Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques
Anne-Marie Aebischer – Tél. (0033/0) 3 81 66 62 27
Université de Neuchâtel
Institut de mathématiques
Alain Valette – Tél. (0041/0) 32 718 28 05
Paul Jolissaint – Tél. (0041/0) 32 718 28 00
Michel Benaim – Tél. (0041/0) 32 718 28 10
